Add explanation of block permutation

ausarbeitung.tex

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 %\usepackage{libertine}
 
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+\usepackage{amsmath}
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 \addbibresource{bibtex.bib}
@@ -123,13 +124,19 @@ Ein Zellularautomat $\mathcal{A}$ wird durch ein Tupel $(d, S, r, f)$ definiert,
 
 Für einen Schritt wird für jede Zelle die lokale Überführungsfunktion ausgewertet um den Nachfolgezustand zu bestimmen. Dies passiert für alle Zellen gleichzeitig.
 
-$C \in S^{\mathbb{Z}^d}$ wird (globale) Konfiguration genannt. Die globale Überführungsfunktion bildet eine globale Konfiguration auf eine neue globale Konfiguration ab, indem für jede Zelle die lokale Überführungsfunktion ausgewertet wird.
+Die Funktion $c \in S^{\mathbb{Z}^d}$ wird (globale) Konfiguration genannt. Die globale Überführungsfunktion bildet eine globale Konfiguration auf eine neue globale Konfiguration ab, indem für jede Zelle die lokale Überführungsfunktion ausgewertet wird.
+
+Wir schreiben kurz $c_{|E}$ für die Einschränkung von $c$ auf $E \subset \mathbb{Z}^d$.
 
 \subsection{Blockpermutationen}
 
 Eine Blockpermutation wird durch $(d, S, w, o, e)$ definiert. Dabei ist $w \in \mathbb{N}^{+}$ die Breite (engl. width). Das Volumen der Blockpermutation ist $V = [0, w - 1]^d \subsetneq \mathbb{Z}$. Die Blockfunktion $e : S^V \rightarrow S^V$ ist eine Permutation.
 
-\todo[inline]{Beschreiben, wie eine Blockpermutation ausgeführt wird}
+Um die Blockpermutation anzuwenden, werden die Zellen in Blöcke eingeteilt. Diese Blöcke sind Hyperwürfel mit Kantenlänge $w$. Auf jeden Block wird dann die Blockfunktion $f$ angewendet.
+
+Etwas formaler: Um den Nachfolger einer globalen Konfiguartion $c$ zu berechnen, suchen wir für jede Zelle ihren nächsten Zustand. Sei $i \in \mathbb{Z}^d$ der Index einer beliebigen Zelle und $a = i \div w$ und $b = i \mod w$ mit $a \in \mathbb{Z}^d$ und $b \in [0, w-1]^d$. Dann gibt $a$ an, in welchem Block sich die Zelle befindet und $b$ welche Position die Zelle in ihrem Block hat. Wir wenden nun die Blockfuntion an und nehmen aus dem Ergebnis den Zustand für diese Zelle:
+
+$$T(c)_i = e(c_{|a * w + V})_b$$
 
 \missingfigure{Diagramm, das die Ausführung einer Blockpermutation zeigt}