@@ -123,13 +124,19 @@ Ein Zellularautomat $\mathcal{A}$ wird durch ein Tupel $(d, S, r, f)$ definiert,
Für einen Schritt wird für jede Zelle die lokale Überführungsfunktion ausgewertet um den Nachfolgezustand zu bestimmen. Dies passiert für alle Zellen gleichzeitig.
$C \in S^{\mathbb{Z}^d}$ wird (globale) Konfiguration genannt. Die globale Überführungsfunktion bildet eine globale Konfiguration auf eine neue globale Konfiguration ab, indem für jede Zelle die lokale Überführungsfunktion ausgewertet wird.
Die Funktion $c \in S^{\mathbb{Z}^d}$ wird (globale) Konfiguration genannt. Die globale Überführungsfunktion bildet eine globale Konfiguration auf eine neue globale Konfiguration ab, indem für jede Zelle die lokale Überführungsfunktion ausgewertet wird.
Wir schreiben kurz $c_{|E}$ für die Einschränkung von $c$ auf $E \subset\mathbb{Z}^d$.
\subsection{Blockpermutationen}
Eine Blockpermutation wird durch $(d, S, w, o, e)$ definiert. Dabei ist $w \in\mathbb{N}^{+}$ die Breite (engl. width). Das Volumen der Blockpermutation ist $V =[0, w -1]^d \subsetneq\mathbb{Z}$. Die Blockfunktion $e : S^V \rightarrow S^V$ ist eine Permutation.
\todo[inline]{Beschreiben, wie eine Blockpermutation ausgeführt wird}
Um die Blockpermutation anzuwenden, werden die Zellen in Blöcke eingeteilt. Diese Blöcke sind Hyperwürfel mit Kantenlänge $w$. Auf jeden Block wird dann die Blockfunktion $f$ angewendet.
Etwas formaler: Um den Nachfolger einer globalen Konfiguartion $c$ zu berechnen, suchen wir für jede Zelle ihren nächsten Zustand. Sei $i \in\mathbb{Z}^d$ der Index einer beliebigen Zelle und $a = i \div w$ und $b = i \mod w$ mit $a \in\mathbb{Z}^d$ und $b \in[0, w-1]^d$. Dann gibt $a$ an, in welchem Block sich die Zelle befindet und $b$ welche Position die Zelle in ihrem Block hat. Wir wenden nun die Blockfuntion an und nehmen aus dem Ergebnis den Zustand für diese Zelle:
$$T(c)_i = e(c_{|a * w + V})_b$$
\missingfigure{Diagramm, das die Ausführung einer Blockpermutation zeigt}
