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\chapter{Ein Kapitel}
\chapter{Ähnliche Arbeiten}
\label{ch:Content1}
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Ich bin mir hier noch nicht ganz sicher welche ich nehmen soll. Ich werde nicht die Zeit haben mich in alleaus dem Paper genügend tief einzulesen
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\section{Erster Abschnitt}
\section{Virtual Point Lights}
\label{ch:Content1:sec:Section1}
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Auf jeden Fall, die kommen nacher noch bei Sichtbarkeit
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\section{Zweiter Abschnitt}
\section{Photon Mapping}
\label{ch:Content1:sec:Section2}
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%% content.tex
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\chapter{Ein Kapitel}
\chapter{BRDF und Spherical Gausians}
\label{ch:Content2}
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Die korrekte Beleuchtungsberechnung ist ein zentraler Bestandteil der Computegrafik.
Besonders bei Szenen mit vielen unterscheidlichen Materialien stellt dies eine große Herausvorderung dar.
Zur pyhsikalischen Beleuchutngsberechnung muss hierzu die Renderingelichung berechnet werden.
Hierbei ist $ L(x,o)$ die Radiance die an einem Oberflächenpunkt x in die Richtung o (outgoing) abgegebn wird.
$ L_e(x,o)$ ist dei von dem Oberfläöchenpunkt emitierte Licht, und das Integral das reflektierte Licht in die Richtung o.
Das reflektierte Richt wird bestimmt durch das Intergral über die positive Hemisphäre, wobei $ L_i(x,i)$ das einfallende Licht aus der Richtiung i (incoming),
$cos\theta_i$ der Winkel zwischen der Oberflächennormale und $\omega_i$
nd $f_r(i,x,o)$ (kurz $f_r(i,o)$) die \textit{Bidirectional Reflectance Distribution Function} (BRDF).
Die BRDF ist vom Material abhängig und gibt an einem Oberflächenpunkt x an wie viel Licht vom Einfallswinkel i in die Ausfallsrichtung o reflektiert wird.
In der Render Gleichung \ref{renderingGleichung} ist $L_i(x,i)= L(y,-i)$ mit $y = ray(x,i)$ geschreiben werden. Somit erhält man eine rekursive Darstellung.
Diese zu lösen ist eine komplexe Aufgabe und wird haufig durch Aproximationen anegnähert und Vorberechntet um Beleuchtung in Echtzeit zu berechnen.
Z.B. ignoriert man alle indirekte Beleuchtung und betrachtet nur alle Oberflächen, bei denen $L_e$ > 0 ist.
In dieser Ausarbeitung wird ein Algorythmus vorgestellt der die Gleichung mit einer indirekten Reflektion auswertet.
\caption{Richtungen im Phong Beleuchtungsmodel. N ist die Oberflächennormale, V der Viewvektor, L der Lichtvektor und R der Reflektion von L an N}
\end{center}
\end{figure}
Eine einfache BRDF ist durch das Phong Beleuchtungsmodell gegeben.
Die Beleuchtung wird in eine diffuse und Spekulare Komponennte getrennt.
Der diffuse Anteil wird brechnet durch $k_d*I_L*(N*L)$ und der spekulrare Anteil durch $k_s*I_L*(R*V)^n$.
Hierbei ist $I_L$ die einfallende Lichtintensität, $k_d$ und $k_s$ materialabhängige Konstannten und n der Phong Exponent, der die Größe der spekularen Glanzlichter beeinflusst.
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\subsection{Spherical Gausians}
\section{Erster Abschnitt}
\label{ch:Content2:sec:Section1}
\label{ch:Content2:sec:Section1}
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Eine Möglichkeit BRDF's zu approximieren bieten Spherical Gausians (SG).
Spherical Gaussian sind definiert als
$$G(v;p,\lambda,c)= c^{\lambda(v*p-1)}$$
mit p als Mittelachse, $\lambda$ als sharpness und c als Skalar.
BRDFsS können als Summe aus einem diffusen und einer spekularen Anteil beschrieben werden:
$$f_r(i,o)= k_d+k_sf_s(i,o)$$
In Wang et al.\cite{Wang09asia} wird beschreiben wie man die spekulare Komponetnte als Summe von SG dargestellt werden kann.
mit $o^j$, $\lambda^j$, $c^j$ als Zentrum, sharpness und Koeffizeint der j. SG.
Die Diffuse Komponente kann als SG mit 0 sharpness dargestellt werden.
$$ kd = G(i;2(o*n)n-o,0,k_d)$$
Es kann somit die BRDF als Summe von SG dargestellt werden. In \cite{Wang09asia} lassen sich hierfür Beispile finden , z.b. für Bling-Phong und Cook-Torrance.
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\section{Zweiter Abschnitt}
\label{ch:Content2:sec:Section2}
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\chapter{Basis Algorythmus und One-bounce Interreflection}
\label{ch:Content3}
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Herleitung der stückweise definierten Liniaren Funktion. vermutlich ein paar unterkapittel
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\chapter{Baumstruktur}
\label{ch:Content4}
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einführen der Baumnstruktur zum effizienteren rendern (nicht über alle 3Ecke integrieren)\\
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\chapter{Sichtbarkeitsproblem}
\label{ch:Content5}
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VSM und ISM
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\chapter{Implementierung}
\label{ch:Content6}
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Soll ich sowas überhaupt behandeln?
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\chapter{Ergebnisse und Vergleiche}
\label{ch:Content7}
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Soll ich sowas überhaupt behandeln?
Und so sieht eine Referenz aus \cite{Xu:2014:PAR:2577382.2533687}
