..

Ausarbeitung/content.tex

@@ -152,13 +152,30 @@ L(x,o)  \approx H(r'_h) \int_{\Omega^T}  G(r;r_h,\lambda_h,c_h)dr
 
 
 \subsection{Integration über ein Sphärisches Dreieck}
-\todo{hier etwas herleitung vlt?}
-Um die Gleichung \ref{recieverEQFinal} zu berechnen muss das Integral über die Dreiecke berechnet werden.
-Heir ergibt sich nach einigen U
-
-
 
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=.7\textwidth]{Bilder/Dreieck.png}
+	\label{img:triangle}
+    \caption{ Intergation eines Sphärischen Dreiecks $\omega_T$ \cite{Wang09asia}}
+  \end{center}
+\end{figure}
+\todo{hier etwas herleitung vlt?}
+Um die Gleichung \ref{recieverEQFinal}auszuwerten muss $\int_{\Omega^T}  G(v;p,\lambda)dv$  berechnet werden.
+Mit der Mittelachse P der SG ergibt sich aus dem Bild \ref{img:triangle} ergibt sich das sich $$\Omega_t = \Omega_{\triangle ABC} = \Omega_{\triangle PBC}-\Omega_{\triangle PAB}-\Omega_{\triangle PCA}$$.
+Durch Integration über die Winkel und einigen Umformungen ergibt sich ein Integral über eine  1D Funktion \ref{1DFunction}, die durch eine stückweise definierte lineare Funktion angenähert werden kann.
+\begin{equation}
+\label{1DFunction}
+ f_{m,\lambda}(\phi)=exp \left[ \lambda(\frac{sin\phi}{\sqrt{m^2+sin^2\phi}}-1)\right]
+\end{equation}
 
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=.7\textwidth]{Bilder/function.png}
+	\label{img:function}
+    \caption{Plot der Funktion $f_{m,\lambda}$, diese kann durch lineare Funktionen durch die roten Punkte angenähert werden. \cite{Wang09asia}}
+  \end{center}
+\end{figure}
 
 
 
@@ -166,8 +183,66 @@ Heir ergibt sich nach einigen U
 \chapter{Baumstruktur}
 \label{ch:Content4}
 %% ==============
-einführen der Baumnstruktur zum effizienteren rendern (nicht über alle 3Ecke integrieren)\\
+Um die indirekte Beleuchtung eines Oberflächenpunktes Auszuwerten muss die Formel aus dem vorherigen Kapitel für alle Dreiecke berechnet werden.
+Bei Szenen mit wenigen Dreiecken ist das möglich, jedoch steigen die kosten linear mit der Anzahl der Dreiecke.
+In diesem Kapitel wird eine Binäre Baumstruktur eingeführt, die die Effizienz bei vielen Dreiecken steigert.
+Die Blätter des Baumes sind die Dreiekce der Szene und die einzelnen Knoten Referenzen und Mittelwerte der Kindern.
+Der Baum wird von der Wurzel aufgebaut, und in jedem Schritt in 2 Kinder gesplittet.
+Für eine Split wird eine Hauptkomponentenanalyse  durchgeführt.
+Im 6D Raum aus Dreiecksmittelpunkt und  gewichteten Normale wird die Hauptachse berechnet und am Median gesplittet.
+Dieses vorgehen garantiert das aufteilen eines Knotens entlang der größten Varianz in 2 gleichgroße Kinder.
+
+In den Knoten wird der durchschnittliche Mittelpunkt, die Durchschnitts Normale, die Bounding Box und der Normalen Kegel, und die absolute Dreiecksfläche gespeichert.
+Bei Texturtieren Dreiecken wird zusätzlich der Durchschnitts Farbwert und die maximal und minimal Farbe gespeichert.
+Aus diesen Daten lässt sich das reflektierte Licht zu einem  Empfänger approximieren \ref{ch:Content4:sec:Section1}, und eine Abschätzung des Fehlers errechnen\ref{ch:Content4:sec:Section1}.
+
+Beim rendern wird zunächst Schnitt durch den Baum bestimmt.
+Angefangen wird mit der Wurzelknoten und es wird immer der Knoten mit dem größten Fehler durch seine beiden Kinder ersetzt.
+Dieser Vorgang wird solange wiederholt bis 1000 Knoten im Schnitt enthalten sind oder der Fehler kleiner ist als 1\% des Reflektierten Lichts.
+Wenn Blätter im Schnitt enthalten sind kann das reflektierte Licht wie in Kapitel \ref{ch:Content3} berechnet werden.
+Jedoch funktioniert der Algorithmus nur bei Dreiecken mit einheitlicher BRDF.
+Bei Texturtieren Dreiecken wird deshalb der Mittelwert der Farbe bestimmt und nehmen ihn als uniforme BRDF.
+Sollte der Fehler durch diese Annäherung zu groß werden wird das Dreieck in kleinere unterteilt und dann ausgewertet.
+Für die Knoten im Baum wird im folgenden Abschnitt beschreiben wie die Reflektion abgeschätzt werden kann.
+
+
+\section{Abschätzung der Reflektion eines Knoten}
+\label{ch:Content4:sec:Section1}
+
+Um das Reflektierte Licht auszurechnen ändern wir Gleichung \ref{recieverEQFinal} geringfügig ab.
+Für einen Knoten N sei $I_N$ der Mittelpunktn, $n_N$ die durchschnittliche Normaleund $t_N$ die Durchschnittsfarbe.
+Wir ändern den Integrationsbereich von einem einzelnen Dreieck $\Omega_T$ zu der sphärischen Projektion aller Dreiecke des Knotens $\Omega_N$.
 
+\begin{equation}
+\label{recieverNodel}
+L(x,o)  \approx t_N \cdot  H(r'_h) \int_{\Omega^N}  G(r;r_h,\lambda_h,c_h)dr
+\end{equation}
+
+Da sich $\Omega_N$ nicht bekannt ist, integrieren wir über die komplette Hemisphäre und ersetzen $\Omega_N$ durch eine Binäre Maske $V_{\Omega_N}(r)$.
+
+$$\int_{\Omega^N}  G(r;r_h,\lambda_h,c_h)dr = \int_{\Omega}  G(r;r_h,\lambda_h,c_h)V_{\Omega_N}(r)dr$$
+
+Diese Binärmaske lässt sich wiederum durch eine SG approximierbar $V_{\Omega_N}(r) \approx  G(r;r_N,\lambda_N,c_N) = G_N(r)$.
+Hierbei ist $r_N$die Richtung von $I_N$ zu X und die Sharpness errechnet aus der Varianz und Dreiecksfläche des Knotens.
+Damit erhalten wir ein Integral über 2 SG, dass wie oben beschrieben einen analytische Lösung hat.
+
+
+\section{Abschätzung des Fehlers}
+\label{ch:Content4:sec:Section2}
+Bei der Abschätzung der Funktion $V_{\Omega_N}(r)$ kann zu großen Fehlern führen.
+
+
+
+
+
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=.7\textwidth]{Bilder/tree.png}
+	\label{img:tree}
+    \caption{a) Der Binärbaum der Dreiecke mit Bounding Box und normal cone. b) ein Beispiel Reflectorcut, c) Direction cone, d) die Berechnung eines Central Cones\cite{Wang09asia}}
+  \end{center}
+\end{figure}
 
 %% ==============
 \chapter{Sichtbarkeitsproblem}