Add section about collapsing the permutations

ausarbeitung.tex

@@ -244,6 +244,44 @@ Durch die Symmetrie von $E^N$ und $E^P$ können die Zustände, die gelöscht wer
 
 \missingfigure{Beispiel für zweidimensionalen Automaten}
 
+\section{Verschmelzen der Zustände und Permutationen}
+
+Bisher haben wir $(S \cup \{\bot\})^2$ Zustände und $d + 1$ Permutation. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Zustände auf $S \cup S^2$ reduzieren und zeigen, dass sich die Permutationen zu einer einzelnen Permutation zusammenfassen lassen.
+
+Wenn wir nur noch eine Permutation haben, dann müssen wir "wissen", welchen Schritt diese gerade ausführen soll. Dies können wir herausfinden, indem wir uns anschauen, in welchen Zellen zwei Zustände vorhanden sind und in welchen nicht.
+
+\begin{lemma}
+  Die aktuelle Blockpermutation $B_{\lambda}$ kann anhand der Positionen der Doppelzustände identifiziert werden.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+  Für $i \in [0, d]$ definieren wir:
+
+  \begin{align}
+    \epsilon_0 &= (3\lambda r, 3\lambda r, \ldots, 3\lambda r)\notag\\
+    \epsilon_1 &= (3\lambda r, 3\lambda r, \ldots, 3\lambda r) + (-3r, -3r, -3r, \ldots, -3r)\notag\\
+    \epsilon_2 &= (3\lambda r, 3\lambda r, \ldots, 3\lambda r) + (-3r, -6r, -6r, \ldots, -6r)\notag\\
+    \epsilon_j &= (3\lambda r, 3\lambda r, \ldots, 3\lambda r) + (-3r, -6r, -9r, \ldots, -3(j-1)r, -3jr, \ldots, -3jr)\notag\\
+    \epsilon_d &= (3\lambda r, 3\lambda r, \ldots, 3\lambda r) + (-3r, -6r, -9r, \ldots, -3dr)\notag
+  \end{align}
+
+  Für $\lambda \leq d$ gilt
+
+  $$\epsilon_j \in \mu_{\lambda} \subset E_{\lambda}^P\footnotemark$$
+
+  \footnotetext{In \cite{DMTCS-AA0110} steht hier $E_{\lambda}^N$. Dies scheint ein Tippfehler zu sein.}
+
+  Der einzige Fall, in dem $\lambda \leq d$ nicht gegeben ist, ist, wenn ein Simulationsschritt abgeschlossen ist. Dann fängt aber ein neuer Simulationsschritt an und alle Zellen haben nur einen Zustand, der (für unsere Zwecke in diesem Beweis) sowohl als alter als auch als neuer Zustand betrachtet werden kann. $\epsilon_j$ ist damit immer in $E_{\lambda}^P$.
+
+  Das Tupel $\epsilon_j$ gehört genau dann zu $E_{\lambda}^N$, wenn $\epsilon_j \in \bigcup_{0 \leq i < \lambda} \mu_i$, also
+
+  $$(-3r, -6r, \dots, -3jr, -3jr) \in \bigcup_{-\lambda \leq i < 0} \left((3ir, \dots, 3ir) + [[r, 3(d+1)r - r - 1]]^d\right)$$
+
+  Da $-3r$, $-6r$, $\dots$ und $-3jr$ im Interval sein müssen, ist das höchste $j$, für das dies gegeben ist, $\lambda - 1$. Also ist $\lambda$ das höchste $j$, für das $\epsilon_j$ zwei Zustände besitzt, plus eins. Falls kein solches $j$ existiert ist $\lambda = 0$.
+
+  Innerhalb eines Blockes kann $\epsilon_j$ zu $(-3r, -6r, \dots, -3jr)$ vereinfacht werden, und ist damit unabhängig von $\lambda$. Es reicht, die Positionen der Zellen eines Blockes mit zwei Zuständen zu kennen, um die richtige Permutation $e_{\lambda}$ anzuwenden.
+\end{proof}
+
 \printbibliography
 
 \end{document}