Die Blockpermutationen benutzen als Zustandsmenge $(S \cup\{\bot\})\times(S \cup\{\bot\})$. Ein Teil wird zum Speichern des vorherigen Zustands benutzt, der andere zum Speichern des nächsten Zustands. Das Symbol $\bot$ wird verwendet wenn ein Zustand fehlt.
Wir definieren nun folgende Konfiguartionen:
$$\forall c \in C \;\;\forall\lambda\in[0, d+1]\quad\mathcal{E}_{\lambda}(c)=\left(c_{|E_{\lambda}^P}, \mathcal{G}(c)_{|E_{\lambda}^N}\right)$$
Dabei ist $\mathcal{E}_{\lambda}(c)$ die Konfiguration der Blockpermutationen nach $\lambda$ Schritten der Berechnung von $\mathcal{G}(c)$.
Sei $B_{\lambda}$ die Blockpermutation, die $\mathcal{E}_{\lambda}(c)$ auf $\mathcal{E}_{\lambda+1}(c)$ abbildet. $B_{\lambda}$ hat Breite $3(d+1)r$ und Ursprung $3\lambda r$. Da wir bei jedem Schritt alte Zustände vergessen ($\mathcal{E}_{\lambda+1}\subsetneq\mathcal{E}_{\lambda}$) ist nicht offensichtlich, dass in jedem Schritt alle Informationen vorhanden sind, die benötigt werden.
\begin{lemma}
Für alle $\lambda$ aus $[0, d]$ enthält $\mathcal{E}_{\lambda}(c)$ genug Informationen, um $\mathcal{E}_{\lambda+1}(c)$ zu berechnen.
\end{lemma}
\begin{proof}
Die Menge der Zellen, für die ein neuer Zustand berechnet werden muss, ist
$$\Delta_{\lambda}= E_{\lambda+1}^N \setminus E_{\lambda}^N =\mu_{\lambda}\setminus\bigcup_{0\leq i < \lambda}\mu_i$$
Das ist genau die Partitionierung der Blockpermutationen $B_{\lambda}$, da diese den Ursprung $(3\lambda r, 3\lambda r, \ldots, 3\lambda r)$ und Breite $3(d+1)r -1$ hat. Wir haben nun also gezeigt, dass alle Zellen, für die ein neuer Zustand berechnet werden soll, sowie alle ihre Nachbarn innerhalb eines Blockes liegen. Es bleibt zu zeigen, dass alle vorherigen Zustände, die dafür benötigt werden, noch vorhanden sind.
Sei $i \in[0, \lambda-1]$. Aus der Definition von $\Delta_{\lambda}$ folgt, dass $x \not\in\mu_i \forall x \in\Delta_{\lambda}$. Das heißt, dass es einen Index $j_i$ gibt, so dass
$$x_{j_i}\not\in3i r +[r, 3(d+1)r - r -1]$$
wobei $x_{j_i}$ der $j_i$-te Eintrag des $d$-Tupels $x$ ist. Daraus folgt, dass $x_{j_i}\in3i r +[-r, r-1]$\todo{Warum?}. Da die Mengen $3ir +[-r, r-1]$ für $i \in[0, \lambda-1]$ disjunkt sind, heißt das, dass es $\lambda$ paarweise verschiedene $j_i$ geben muss.
Sei $y$ eine beliebige Zelle, die zur Berechnung den nächsten Zustands von $x$ benötigt wird. $y$ gehört zu $x +[-r,r]^d$. Für alle $i \in[0, d -1]$ ist $y_{j_i}$ in $3ir +[-2r, 2r -1]$. Nehmen wir an, dass ein $y$ existiert, das nicht zu $E_{\lambda}^P$ gehört. Dann gilt für alle $v \in[\lambda, d +1]$, dass ein $k_v$ existiert, sodass $y_{k_v}$ nicht zu $vr +[r, 3(d+1)r - r -1]$ gehört, oder äquivalent $y_{k_v}\in3vr +[-r, r-1]$. Da die Mengen $3vr +[-r, r-1]$ disjunkt sind, gibt es $d+1-\lambda$ paarweise verschiedene $k_v$.
Zusammen existieren $\lambda+ d +1-\lambda= d +1$$j_i$ und $k_v$ für $d$ mögliche Werte. Es existieren also $i_0$ und $v_0$, sodass $j_{i_0}= k_{v_0}$. Das bedeutet, dass die Schnittmenge von $3i_0r +[-2r, 2r -1]$ und $3v_0r +[-r, r -1]$ nicht leer ist. Daraus folgt, dass $i_0= v_0$
