Add chapter for simulation

ausarbeitung.tex

@@ -143,6 +143,36 @@ $$\forall x \in F, \forall n \in \mathbb{N} \qquad f^n(x) = \beta \circ g^{\tau
 
 Anders ausgedrückt: Wir übersetzen eine Konfiguration eines Automaten in eine Konfiguration eines anderen Automaten, lassen diesen $\tau$ Schritte machen und übersetzen dann wieder zurück. Das Ergebnis ist dann äquivalent dazu, einen Schritt mit dem ursprünglichen Automaten zu machen.
 
+\chapter{Simulation von reversiblen Zellularautomaten durch Blockpermutationen}
+
+Die Konstruktion läuft in mehreren Schritten ab: Zuerst werden $d+1$ Blockpermutationen angegeben, die, wenn sie nacheinander ausgeführt werden, den reversiblen Zellularautomaten simulieren. Anschließend wird gezeigt, dass sich die Blockpermutationen zu einer einzelnen Blockpermutation vereinigen lassen, so dass sich ein reversibler Blockzellularautomat ergibt.
+
+\section{Partitionierung}
+
+Betrachten wir zunächst die Hilfsmengen
+
+$$\mu_i = (3i, 3i, \dots, 3i) + [r, 3(d+1)r - r - 1]^d \qquad 0 \leq i \leq d$$
+
+Diese Mengen sind Hyperwürfel, die mit wachsendem $i$ gleichmäßig in allen Dimensionen verschoben werden.
+
+\missingfigure{Diagramm mit Beispielen zu $\mu_i$}
+
+Mit diesen Mengen können wir nun folgende Mengen für $0 \leq \lambda \leq d$ bilden:
+
+$$E_{\lambda}^P = \bigcup_{\lambda \leq i \leq d} \mu_i$$
+
+$$E_{\lambda}^N = \bigcup_{0 \leq i < \lambda} \mu_i$$
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+\missingfigure{Diagramm mit Beispielen zu $E_{\lambda}^{P/N}$}
+
+Dabei ist $E_{\lambda}^P$ die Menge der Zellen, die in Schritt $\lambda$ der Simulation noch den Ausgangszustand kennen (von engl. previous) und $E_{\lambda}^N$ die Menge der Zellen, die bereits den nächsten Zustand kennen (von engl. next). Dadurch wird schon klar, dass für $\lambda = 0$, also zu Beginn der Simulation,
+
+$$E_{\lambda}^P = V \quad \wedge \quad E_{\lambda}^N = \emptyset$$
+
+gelten muss. Genauso gilt für $\lambda = d$
+
+$$E_{\lambda}^P = \emptyset \quad \wedge \quad E_{\lambda}^N = V$$
+
 \printbibliography
 
 \end{document}